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Erkunden Sie die wesentlichen Teile der Rahmenkonzeption (Framework) der Testdomäne Mathematik und klicken Sie auf die interaktiven Komponenten oder laden Sie den kompletten Entwurf der PISA 2021 Rahmenkonzeption für Mathematik (ausschließlich in engl. Originalfassung verfügbar) herunter.

« Die deutsche Übersetzung dieser digitalen Rahmenkonzeption für Mathematik von PISA2021 wurde von der deutschsprachigen Kooperation DACH (Deutschland, Österreich, Schweiz) gemeinsam entwickelt.

Bei den Übersetzungen der Test- und Erhebungsmaterialien führt jedes Land nationale Anpassungen durch, um den eigenen kulturellen und sprachlichen Gegebenheiten zu entsprechen. Auf diese Anpassungen wurde für die vorliegende Präsentation der Rahmenkonzeption (inklusive der hier dargestellten Beispielaufgaben) zugunsten der Einheitlichkeit dieses Webauftritts verzichtet.

Alle zukünftig in unseren Ländern verwendeten Test- und Erhebungsmaterialien werden selbstverständlich wieder national adaptiert werden.»

Übersicht

Die Rahmenkonzeption von PISA 2021 definiert die theoretischen Grundlagen der PISA Studie im Fach Mathematik basierend auf einem grundlegenden Konzept von Mathematikkompetenz, das mathematisches Argumentieren und drei Prozesse eines Problemlösungszyklus (mathematische Modellierung) in Beziehung setzt. Die Rahmenkonzeption beschreibt, wie mathematisches Wissen in vier Kategorien organisiert ist. Es beschreibt zudem vier Kategorien von Kontexten, in denen die Schülerinnen und Schüler mathematischen Herausforderungen begegnen können.

Die PISA Studie misst, ob es den Ländern erfolgreich gelingt, die Schülerinnen und Schüler dahingehend vorzubereiten, Mathematik in Belange ihres persönlichen, gesellschaftlichen und beruflichen Lebens, als konstruktive, engagierte und reflektierte Bürgerinnen und Bürger des 21. Jahrhunderts anzuwenden.

Was ist Mathematikkompetenz?

Mathematikkompetenz ist die Fähigkeit einer Person zum mathematischen Argumentieren sowie Mathematik in einer Vielzahl von Alltagskontexten einzusetzen, in denen Problemstellungen mathematisch formuliert, bearbeitet und interpretiert werden. Dies beinhaltet mathematische Konzepte, Fakten und Methoden um Phänomene zu beschreiben, zu erklären und vorauszusagen. Mathematikkompetenz hilft Personen zu erkennen, welche Rolle Mathematik in der Welt spielt, um fundierte Urteile abzugeben sowie gut begründete Entscheidungen zu treffen, so wie sie von konstruktiven, engagierten und reflektierten Bürgerinnen und Bürger des 21. Jahrhunderts benötigt werden.

Was ist neu bei PISA 2021?

PISA 2021 zielt darauf ab, Mathematik in einer sich schnell verändernden Welt, die von neuen Technologien und Trends angetrieben wird, zu betrachten. In einer Welt, in der die Personen kreativ und engagiert sind und keine Standardurteile für sich selbst und die Gesellschaft fällen. Dadurch wird die Fähigkeit „Argumentieren“ in den Mittelpunkt gerückt. Diese Fähigkeit war schon immer Teil der Rahmenkonzeption von PISA. Der Technologiewandel führt dazu, dass die Schülerinnen und Schüler die Konzepte des algorithmischen Denkens verstehen müssen, die Teil der Mathematikkompetenz sind. Die Rahmenkonzeption berücksichtigt auch, dass die Schülerinnen und Schüler im Rahmen von PISA an einer computerbasierten Erhebung teilnehmen, und wurde dahingehend optimiert.

Mathematisches Argumentieren

In der heutigen Welt, wird die Fähigkeit, logische Schlussfolgerungen zu ziehen und Argumente zuverlässig und überzeugend aufzuzeigen, immer wichtiger. Die Mathematik ist eine Wissenschaft mit klar definierten Objekten und Begriffen, die mithilfe von „mathematischem Argumentieren“ auf unterschiedliche Weise analysiert und umgewandelt werden können. Damit können zuverlässige und allgemein gültige Ergebnisse erzielt werden.

In Mathematik lernen die Schülerinnen und Schüler, dass sie mit folgerichtigem Argumentieren und Annahmen zu Ergebnissen kommen können, auf die sie sich in verschiedenen Alltagssituationen verlassen können. Es ist wichtig, dass diese Schlussfolgerungen objektiv nachvollziehbar sind und keine Bestätigung von externer Stelle benötigen.

Schlüsselkompetenzen

Mindestens sechs Schlüsselkompetenzen strukturieren und unterstützen das mathematische Argumentieren. Diese Schlüsselkompetenzen beinhalten folgende Punkte:

  • Größen, Zahlensysteme und ihre algebraischen Eigenschaften verstehen;
  • die Bedeutung von Abstraktion und symbolischer Darstellung erkennen;
  • mathematische Strukturen und deren Regelmäßigkeiten erfassen;
  • funktionale Zusammenhänge zwischen Größen erkennen;
  • mathematisches Modellieren von realen Situationen, die z. B. in Physik, Biologie, Sozial- und Wirtschaftswissenschaften vorkommen, verwenden;
  • Variation als wichtigen Bestandteil der Statistik verstehen.

Verwenden Sie die Pfeile unten, um die Schlüsselkompetenzen genauer zu betrachten:

Formulieren

Der Begriff Formulieren bezieht sich in der Mathematikkompetenz auf die Fähigkeit des Einzelnen, Möglichkeiten zur Verwendung der Mathematik zu erkennen und zu ermitteln, um dann eine mathematische Struktur für ein in realer Situation dargestelltes Problem bereitzustellen. Bei der mathematischen Formulierung von Situationen bestimmen die Personen, wo sie die wesentliche Mathematik extrahieren können, um das Problem zu analysieren, anzusetzen und zu lösen. Sie übersetzen aus der realen Welt in den Bereich der Mathematik und liefern dem realen Problem mathematische Struktur, Darstellungen und Genauigkeit. Sie denken über Einschränkungen und Annahmen des Problems nach. Insbesondere umfasst dieser Prozess der mathematischen Formulierung von Situationen folgende Fähigkeiten:

  • ein geeignetes Modell aus einer Liste auswählen; **
  • den mathematischen Aspekt eines realen Problems und die wesentlichen Variablen identifizieren;
  • die mathematische Struktur (inkl. Regelmäßigkeiten, Beziehungen und Muster) einer Situation oder eines Problems erkennen;
  • die Situation oder das Problem so zu vereinfachen, sodass es mathematisch analysiert werden kann;
  • Bedingungen und Vermutungen, die hinter einem mathematischen Modell stehen und sich aus dem Kontext ergeben, identifizieren;
  • eine Situation mithilfe von geeigneten Variablen, Symbolen, Diagrammen und Standardmodellen mathematisch darstellen;
  • ein Problem einschließlich seiner Organisation nach mathematischen Konzepten und angemessen Vermutungen, auf eine andere Art darstellen;
  • die Beziehungen zwischen der kontextspezifischen Sprache eines Problems und der symbolischen und formalen Sprache, die zur mathematischen Darstellung erforderlich ist, verstehen und erklären;
  • ein Problem in eine mathematische Sprache oder Darstellung übersetzen;
  • Aspekte eines Problems, welche bekannten Problemen oder mathematischen Konzepten, Fakten oder Verfahren entsprechen, erkennen;
  • Technologie verwenden (wie z. B. eine Tabelle oder die Listenfunktion eines Grafikrechners), um eine mathematische Beziehung darzustellen, die eine reale Situation beinhaltet sowie
  • eine Schritt für Schritt Anleitung zum Lösen von Problemen erstellen.

** Diese Fähigkeit ist in der Liste enthalten, um hervorzuheben, dass die Entwicklerinnen und Entwickler von Testaufgaben Beispiele erstellen, die für Schülerinnen und Schüler, die sich am unteren Ende der Leistungsskala befinden, lösbar sind.

Anwenden

Der Begriff Anwenden bezieht sich in der Mathematikkompetenz auf die Fähigkeit des Einzelnen, mathematische Konzepte, Fakten, Prozeduren und Argumentationen zu verwenden, um mathematisch formulierte Probleme zu lösen und so mathematische Ergebnisse zu erhalten. Bei der Anwendung mathematischer Konzepte, Fakten, Prozeduren und Argumentationen zur Lösung von Problemen führen Einzelpersonen die mathematischen Verfahren aus, die erforderlich sind, um Ergebnisse abzuleiten und eine mathematische Lösung zu finden. Sie erarbeiten ein Modell der Problemsituation, stellen Regelmäßigkeiten auf, identifizieren Zusammenhänge zwischen mathematischen Einheiten und erstellen mathematische Argumente. Konkret umfasst dieser Prozess der Anwendung mathematischer Konzepte, Fakten, Prozeduren und Argumentationen folgende Fähigkeiten:

  • eine einfache Berechnung durchführen; **
  • eine einfache Schlussfolgerung ziehen; **
  • eine geeignete Strategie aus einer Liste auswählen; **
  • Strategien zur Lösung mathematischer Probleme entwickeln und umsetzen;
  • Mathematische Instrumente, einschließlich Technologie, verwenden, um genaue oder annäherungsweise Lösungen zu erhalten;
  • Mathematische Fakten, Regeln, Algorithmen und Strukturen anwenden;
  • Zahlen, grafische und statistische Daten und Informationen, algebraische Ausdrücke und Gleichungen sowie geometrische Darstellungen manipulieren;
  • mathematische Diagramme, Grafiken und Konstruktionen erstellen und daraus mathematische Informationen gewinnen;
  • verschiedenen Darstellungsformen bei der Suche nach Lösungen verwenden und zwischen diesen wechseln;
  • Verallgemeinerungen auf der Grundlage der Ergebnisse der Anwendung mathematischer Verfahren, machen;
  • Mathematische Argumente reflektieren und mathematische Ergebnisse erklären und begründen sowie
  • die Bedeutung von beobachteten Mustern und Regelmäßigkeiten in Daten bewerten.

** Diese Fähigkeit ist in der Liste enthalten, um hervorzuheben, dass die Entwicklerinnen und Entwickler von Testaufgaben Beispiele erstellen, die für Schülerinnen und Schüler, die sich am unteren Ende der Leistungsskala befinden, lösbar sind.

Interpretieren und Bewerten

Der Begriff Interpretieren (und Bewerten) konzentriert sich auf die Fähigkeit des Einzelnen, über mathematische Lösungen, Ergebnisse oder Schlussfolgerungen nachzudenken und diese in Bezug auf die Problemstellung zu interpretieren, die den Prozess ausgelöst hat. Dies beinhaltet die Rückübersetzung mathematischer Lösungen oder Argumentationen in den Kontext des Problems und die Feststellung, ob die Ergebnisse im Rahmen des realen Problems angemessen und sinnvoll sind.

Insbesondere umfasst dieser Prozess der Interpretation, Verwendung und Bewertung mathematischer Ergebnisse folgende Fähigkeiten:

  • Informationen in Grafiken und/oder in Diagrammen interpretieren; **
  • ein mathematisches Ergebnis in Hinblick auf den Kontext bewerten; **
  • ein mathematisches Ergebnis im realen Kontext interpretieren;
  • die Sinnhaftigkeit einer mathematischen Lösung im realen Kontext des Problems bewerten;
  • verstehen, wie sich die reale Welt auf die Ergebnisse und Berechnungen einer mathematischen Prozedur oder eines Modells auswirkt, um kontextbezogene Urteile darüber zu fällen, wie die Ergebnisse angepasst oder angewendet werden sollten;
  • erklären, warum ein mathematisches Ergebnis oder eine Schlussfolgerung im Kontext eines realen Problems als sinnvoll erachtet wird oder keinen Sinn ergibt;
  • den Umfang und die Grenzen mathematischer Konzepte und Lösungen verstehen;
  • die Grenzen des Modells, das zur Lösung eines Problems verwendet wird, kritisieren und identifizieren sowie
  • mathematisches und algorithmisches Denken verwenden, um Vorhersagen zu treffen, Argumente zu beweisen und Lösungsvorschläge zu testen und zu vergleichen.

** Diese Fähigkeit ist in der Liste enthalten, um hervorzuheben, dass die Entwicklerinnen und Entwickler von Testaufgaben Beispiele erstellen, die für Schülerinnen und Schüler, die sich am unteren Ende der Leistungsskala befinden, lösbar sind.

Inhaltsbereiche

Um eine Aufgabe oder ein Problem mathematisch (in persönlichen, beruflichen, gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Kontexten) zu lösen und argumentieren zu können, muss man mathematische Inhalte kennen und in den verschiedenen Aufgaben anwenden können.

Die folgenden Inhaltsbereiche werden bereits seit PISA 2012 verwendet, sie gelten als essenzielle Bestandteile der Mathematik und sind auch in den meisten Lehrplänen zu finden:

Vier Themenschwerpunkte wurden für PISA 2021 festgelegt, die keine neuen Inhaltsbereiche darstellen. Sie erhalten 2021 aber besondere Aufmerksamkeit:

Größen

Der Größenbegriff ist wahrscheinlich der allgegenwärtigste und wesentlichste mathematische Aspekt der Auseinandersetzung mit und des Funktionierens in unserer Welt. Es beinhaltet die Quantifizierung von Objekteigenschaften, Beziehungen, Situationen und Einheiten in der Welt, das Verstehen verschiedener Darstellungen dieser Quantifizierungen und das Beurteilen von Interpretationen und Argumenten basierend auf Größen. Um sich mit der Quantifizierung der Welt auseinanderzusetzen, müssen Messungen, Zählungen, Größen, Einheiten, Indikatoren, relative Größen und numerische Trends und Muster verstanden werden.

Die Quantifizierung ist eine primäre Methode zur Beschreibung und Messung einer Vielzahl von Aspekten der Welt. Es ermöglicht die Modellierung von Situationen, die Untersuchung von Veränderungen und Zusammenhängen, die Beschreibung und Manipulation von Raum und Form, die Organisation und Interpretation von Daten sowie die Messung und Bewertung von Unsicherheiten.

Computersimulationen

Sowohl die Mathematik als auch die Statistik bringen Probleme mit sich, die nicht so einfach anzugehen sind, weil die dafür benötigte Mathematik komplex ist oder eine große Anzahl von Faktoren beinhaltet, die alle im selben System arbeiten. In der heutigen Welt werden solche Probleme zunehmend mit Computersimulationen angenähert, die auf algorithmischer Mathematik basieren.

Computersimulationen als Schwerpunkt des Inhaltsbereichs Größen zu setzen führt dazu, dass sich im Rahmen des computerbasierten Testens in Mathematik eine große Spannbreite an komplexen Problemen ergibt. So können die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe von Computersimulationen beispielsweise Aufgaben zu Budgetierung oder Planung lösen.

Unsicherheiten und Daten

In Wissenschaft, Technik und im Alltag sind Unsicherheiten eine Selbstverständlichkeit. Unsicherheiten sind daher ein Phänomen, das im Mittelpunkt der mathematischen Analyse vieler Problemsituationen steht; Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik sowie Techniken zur Darstellung und Beschreibung von Daten wurden entwickelt, um mit Unsicherheiten umzugehen.

Der Inhaltsbereich Unsicherheiten und Daten umfasst das Erkennen des Ursprungs von Variation in Prozessen, ein Gefühl für die Quantifizierung dieser Varianz, das Anerkennen von Unsicherheiten und Messfehlern sowie das Wissen um den Zufall. Dazu gehört auch das Formulieren, Interpretieren und Bewerten von Schlussfolgerungen, die in von Unsicherheiten behafteten Situationen gezogen wurden. Die Quantifizierung ist eine wichtige Methode zur Beschreibung und Messung zahlreicher Eigenschaften von Aspekten der Welt.

Treffen von bedingten Entscheidungen

Das Treffen von bedingten Entscheidungen als Schwerpunkt des Inhaltsbereichs Unsicherheiten und Daten zu setzen führt dazu, dass von Schülerinnen und Schülern erwartet wird, dass sie einschätzen können, wie die beim Aufsetzen eines Modells getroffenen Annahmen die Schlussfolgerungen, die daraus gezogen werden können, beeinflussen und dass verschiedene Annahmen/Beziehungen zu unterschiedlichen Schlussfolgerungen führen können.

Veränderungen und Zusammenhänge

Natürliche und gestaltete Welten stellen eine Vielzahl temporärer und dauerhafter Beziehungen zwischen Objekten sowie Umstände dar, in denen Veränderungen innerhalb von Systemen miteinander verbundener Objekte passieren, oder Umstände, in denen sich Objekte gegenseitig beeinflussen. In vielen Fällen treten diese Veränderungen im Laufe der Zeit auf. In anderen Fällen stehen Veränderungen an einem Objekt oder an einer Menge im Zusammenhang mit Veränderungen an anderem. Einige dieser Situationen beinhalten diskrete Veränderung, andere kontinuierliche Veränderung. Einige Beziehungen sind von dauerhafter oder unveränderlicher Natur. Mehr über Veränderung und Beziehungen zu wissen bedeutet, grundlegende Arten von Veränderungen zu verstehen und zu erkennen, wann sie eintreten, um geeignete mathematische Modelle zur Beschreibung und Vorhersage von Veränderung zu verwenden. Mathematisch bedeutet dies, die Veränderung und die Beziehungen mit geeigneten Funktionen und Gleichungen zu modellieren, sowie symbolische und grafische Darstellungen von Beziehungen zu erstellen, zu interpretieren und zu übersetzen.

Wachstumsprozesse

Gefahren von Grippepandemien und Ausbrüchen von Krankheitserregern sowie die Bedrohung durch den Klimawandel zu verstehen erfordert, dass die Menschen nicht nur in linearen Beziehungen denken, sondern auch erkennen, dass solche Phänomene nichtlineare Modelle benötigen, die ein sehr schnelles Wachstum darstellen. Lineare Beziehungen sind häufig und leicht zu erkennen und zu verstehen, aber Linearität einfach anzunehmen kann manchmal gefährlich sein.

Wachstumsphänomene als Schwerpunkt des Inhaltsbereichs Veränderungen und Zusammenhänge zu setzen bedeutet nicht, dass Schülerinnen und Schüler exponentielle Funktionen gelernt haben sollen, daher setzen die Aufgaben auch kein Wissen über Exponentialfunktionen voraus. Stattdessen wird es Aufgaben geben, bei denen von den Schülerinnen und Schülern erwartet wird, dass sie erkennen, dass (a) nicht jedes Wachstum linear ist und (b) dass nichtlineares Wachstum tiefgreifende Auswirkungen darauf hat, wie wir bestimmte Situationen verstehen.

Raum und Form

Raum und Form umfassen ein breites Spektrum von Phänomenen, die überall in unserer sichtbaren und physischen Welt anzutreffen sind: Muster, Eigenschaften von Objekten, Positionen und Orientierungen, Darstellungen von Objekten, Dekodierung und Kodierung von visuellen Informationen sowie Navigation und dynamische Interaktion mit realen Formen sowie mit Abbildungen. Die Geometrie dient als wesentliche Grundlage für Raum und Form, aber die Kategorie geht in Inhalt, Bedeutung und Methode über die traditionelle Geometrie hinaus und greift auf Elemente anderer mathematischer Bereiche wie räumliche Visualisierung, Messung und Algebra zurück.

Geometrische Annäherung

Die heutige Welt ist voll von Formen, die nicht typischen Mustern der Gleichmäßigkeit oder Symmetrie folgen. Da einfache Formeln nicht mit Unregelmäßigkeiten umgehen, ist es schwieriger geworden, zu verstehen, was wir sehen und die Fläche oder das Volumen der resultierenden Strukturen zu erkennen.

Geometrische Annäherungen als Schwerpunkt des Inhaltsbereichs Raum und Form zu setzen verdeutlicht die Notwendigkeit, dass Schülerinnen und Schüler das Verständnis traditioneller Phänomene von Raum und Form in vielen typischen Situationen anwenden können.

Kontexte

Ein wichtiger Gesichtspunkt der Mathematikkompetenz ist, dass Mathematik angewandt wird, um Probleme in bestimmten Kontexten zu lösen. Die Wahl geeigneter mathematischer Strategien und Darstellungen hängt häufig vom Kontext ab, in dem ein Problem auftritt. Bei PISA sind die Kontexte sehr breit gestreut, um die verschiedenen situationsbezogenen Interessen der Schülerinnen und Schüler abzudecken.

Persönliches Umfeld

Fragestellungen aus dem persönlichen Umfeld beziehen sich auf einen selbst, die Familie oder den Freundeskreis. Typische Themen für Aufgaben aus dem persönlichen Umfeld handeln von Nahrungszubereitung, Einkaufen, Spielen, Gesundheit, Sport, Reisen, persönliche Terminplanung und Finanzplanung.

Berufliches Umfeld

Fragestellungen aus dem beruflichen Umfeld sind der Arbeitswelt zugeordnet. Dieser situationsbezogene Kontext beinhaltet unter anderem Aufgaben zu Abmessungen, Kosten- und Bestellmaterialien für Gebäude, Lohn- und Gehaltsabrechnung, Qualitätskontrolle, Planung/Bestand, Design/Architektur und arbeitsbezogene Entscheidungen. Der berufliche Kontext kann sich auf alle Hierarchiestufen beziehen, von Hilfsarbeitern bis hin zum Experten, wenngleich darauf zu achten ist, dass die Aufgaben der PISA Studie 15-Jährige ansprechen sollen.

Öffentliches Umfeld

Fragestellungen des öffentlichen Umfelds betreffen die Allgemeinheit (lokal, national oder auch global). Dies beinhaltet etwa Themen wie Wahlsysteme, öffentlichen Verkehr, Politik, demografische Entwicklung, Werbung, nationale Statistik oder Wirtschaft. Obwohl Einzelpersonen von diesen Themen betroffen sind, liegt der Fokus auf der Perspektive der Gemeinschaft.

Wissenschaftliches Umfeld

Fragestellungen des wissenschaftlichen Umfelds beziehen sich auf die Anwendung der Mathematik in Naturwissenschaften und Technologien. Dies kann Themen wie Wetter oder Klima, Ökologie, Medizin, Weltraumforschung, Genetik, Messtechniken und die Welt der Mathematik selbst beinhalten. Innermathematische Aufgaben, in welcher alle Bestandteile aus der Welt der Mathematik stammen, gehören ebenfalls zum wissenschaftlichen Umfeld.

Kompetenzen des 21. Jahrhunderts

Weltweit ist das Interesse an sogenannten Kompetenzen des 21. Jahrhunderts und deren mögliche Einbeziehung ins Bildungssystem gestiegen. Die OECD hat einen Bericht veröffentlicht, welche den Fokus auf solche Kompetenzen legt und fördert ein Forschungsprojekt mit dem Titel The Future of Education and Skills: Education 2030 (Die Zukunft der Bildung und Kompetenzen: Bildung 2030). Etwa 25 Länder sind an dieser länderübergreifenden Studie beteiligt, welche Lehrpläne und den Einbezug dieser Kompetenzen vergleicht. Im Mittelpunkt des Projekts steht, wie der Lehrplan in Zukunft aussehen könnte, wobei der Fokus auf Mathematik liegt.

Einige der Schlüsselkompetenzen des 21. Jahrhunderts sind:

  • kritisches Denken;
  • Kreativität;
  • Erforschung und Erkundung;
  • Selbstbestimmung, Initiative und Beharrlichkeit;
  • Verwendung von Informationen;
  • Systemdenken;
  • Kommunikation sowie
  • Reflexion.

Obwohl die Entwicklerinnen und Entwickler der Testaufgaben diese Kompetenzen des 21. Jahrhunderts bereits anerkennen, wurden die Mathematikaufgaben für PISA 2021 nicht speziell für diese Kompetenzen entwickelt.

Beispiele

Untenstehend sind einige Beispielaufgaben aus PISA 2021 für Mathematik. Bei Klicken auf eines der Felder, wird eine Beispielaufgabe geöffnet.