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Explorez les principales sections ci-dessous, cliquez sur les composantes interactives du cadre ou téléchargez intégralement l’ébauche du cadre pour les mathématiques du PISA 2021 en PDF.

Veuillez prendre note que la version française de ce contenu n’a pas été révisée.

Aperçu

Le cadre pour les mathématiques du PISA 2021 définit les bases théoriques des épreuves de mathématiques du PISA à la lumière du concept fondamental de la culture mathématique, en reliant le raisonnement mathématique et trois processus du cycle de résolution de problèmes (modélisation mathématique). Il présente la répartition des connaissances mathématiques entre quatre catégories de contenus mathématiques. En outre, il décrit les quatre catégories de contextes, c’est-à-dire les situations dans lesquelles les élèves auront à mener à bien des tâches mathématiques.

L’évaluation du PISA permet de déterminer dans quelle mesure les pays préparent leurs élèves à utiliser les mathématiques dans tous les aspects de leur vie personnelle, civique et professionnelle, pour une citoyenneté du XXIe siècle à la fois constructive, engagée et réfléchie.

Qu’est-ce que la culture mathématique?

La culture mathématique est l’aptitude d’un individu à raisonner de façon mathématique et à formuler, à employer et à interpréter les mathématiques pour résoudre des problèmes dans un éventail de contextes du monde réel. Elle nécessite notamment des concepts, des procédures, des faits et des outils pour décrire, expliquer et prévoir des phénomènes. Elle aide les individus à connaître le rôle que les mathématiques jouent dans le monde et à se comporter en citoyennes et citoyens du XXIe siècle constructifs, engagés et réfléchis, c’est-à-dire à porter des jugements et à prendre des décisions en toute connaissance de cause.

Quoi de neuf avec le PISA 2021?

Le PISA 2021 vise à examiner les mathématiques dans un monde en rapide évolution, mu par de nouvelles technologies et tendances, dans lequel les citoyennes et citoyens sont créatifs et engagés et prennent des décisions non routinières pour eux et la société dans laquelle ils vivent. D’où l’importance de pouvoir raisonner mathématiquement, qui a toujours fait partie du cadre du PISA. Le changement technologique donne également lieu à la nécessité pour les élèves de comprendre les concepts de la pensée computationnelle qui font partie de la culture mathématique. Enfin, le cadre reconnaît que la majorité des élèves participant au PISA ont accès à un test amélioré assisté par ordinateur.

Raisonnement mathématique

La capacité de raisonner logiquement et de présenter des arguments de façon honnête et convaincante est une compétence de plus en plus importante dans le monde d’aujourd’hui. Les mathématiques sont une science qui porte sur des objets et des notions bien définis, lesquels peuvent être analysés et transformés de diverses façons à l’aide du « raisonnement mathématique » pour produire des conclusions certaines et intemporelles.

En mathématiques, les élèves apprennent que, si leur raisonnement et leurs hypothèses sont bons, ils peuvent arriver à des résultats dont ils seront assurés de l’exactitude dans un vaste éventail de contextes de la vie de tous les jours. Il importe également de souligner que ces conclusions sont impartiales et qu’elles n’ont nullement besoin d’être validées par une autorité externe.

Les concepts clés

Au moins six concepts clés structurent et soutiennent le raisonnement mathématique. Ces concepts sont les suivants :

  • comprendre la quantité, les systèmes de numération et leurs propriétés algébriques;
  • comprendre le potentiel de l’abstraction et de la représentation symbolique;
  • reconnaître les structures mathématiques et leurs régularités;
  • reconnaître les relations fonctionnelles entre quantités;
  • recourir à la modélisation mathématique pour percevoir le monde réel (p. ex., dans les domaines de la physique, de la biologie, des sciences sociales, de l’économie et des sciences du comportement);
  • voir la variation comme fondement de la statistique.

À l’aide des flèches ci dessous, explorez plus à fond chaque concept clé.

Formuler

Dans la définition de la culture mathématique, le mot formuler désigne la capacité qu’a une personne d’établir et de reconnaître des possibilités d’utiliser les mathématiques, puis de structurer sous forme mathématique un problème présenté jusqu’à un certain point sous une forme contextualisée. Lors de ce processus de formulation mathématique des situations, les individus déterminent les mathématiques essentielles à utiliser pour analyser, configurer et résoudre le problème. Ils transposent dans le domaine des mathématiques un problème qui s’inscrit dans un contexte tiré du monde réel et lui donnent une structure, une représentation et une spécificité d’ordre mathématique. Ils réfléchissent aux contraintes et aux hypothèses, en découvrent le sens et raisonnent à leur sujet. Plus précisément, le processus qui consiste à formuler des situations de façon mathématique englobe des activités telles les suivantes:

  • sélectionner un modèle approprié à partir d’une liste**;
  • reconnaître les aspects mathématiques et les variables significatives d’un problème dans un contexte de la vie de tous les jours;
  • reconnaître les structures mathématiques (régularités, relations, récurrences, etc.) dans des problèmes ou des situations;
  • simplifier une situation ou un problème pour qu’il se prête à une analyse mathématique;
  • définir les contraintes et les hypothèses qui sous-tendent toute modélisation mathématique et les simplifications extraites du contexte;
  • représenter la situation de façon mathématique à l’aide de variables, de symboles, de diagrammes et de modèles standards appropriés;
  • représenter le problème d’une autre façon, notamment en l’organisant en fonction de concepts mathématiques et en formulant les hypothèses appropriées;
  • comprendre et expliquer les relations entre le langage propre au contexte employé pour décrire le problème et le langage symbolique et formel indispensable pour représenter ce problème sous une forme mathématique;
  • traduire le problème en langage ou en représentation mathématique;
  • reconnaître les aspects du problème qui correspondent à des problèmes connus ou à des concepts, à des faits ou à des procédures mathématiques;
  • créer une série ordonnée de directives (étape par étape) pour
  • ** Cette activité apparaît dans la liste afin de mettre en relief la nécessité pour les responsables de l’élaboration du test de prévoir des items accessibles aux élèves qui se situent au bas de l’échelle de rendement.

Employer

Dans la définition de la culture mathématique, le verbe employer renvoie à la capacité des individus d’appliquer des concepts, des faits, des procédures et des raisonnements mathématiques pour résoudre des problèmes énoncés de façon mathématique afin d’aboutir à des conclusions mathématiques. Au cours de ce processus, qui consiste à employer des concepts, des faits, des procédures et des raisonnements mathématiques pour résoudre des problèmes, les individus appliquent les procédures mathématiques requises pour obtenir des résultats et trouver une solution mathématique. Ils travaillent sur un modèle de la situation du problème, cernent les régularités et les relations entre les entités mathématiques et formulent des arguments mathématiques. Plus précisément, ce processus, qui consiste à employer des concepts, des faits, des procédures et des raisonnements mathématiques, englobe des activités telles les suivantes :
  • exécuter un calcul simple**;
  • tirer une conclusion simple**;
  • sélectionner une stratégie appropriée à partir d’une liste**;
  • concevoir et appliquer des stratégies en vue de trouver des solutions mathématiques;
  • utiliser des outils mathématiques, dont des applications technologiques, pour faciliter la recherche de solutions précises ou approximatives;
  • appliquer des faits, des lois, des algorithmes et des structures mathématiques à la recherche de solutions;
  • manipuler des nombres, des informations et des données graphiques et statistiques, des équations et des expressions algébriques ainsi que des représentations géométriques;
  • élaborer des structures, des diagrammes et des graphiques mathématiques et en extraire des informations mathématiques;
  • utiliser différentes représentations et passer de l’une à l’autre durant le processus de résolution du problème;
  • faire des généralisations à partir des résultats de l’application de procédures mathématiques pour trouver des solutions;
  • réfléchir à des arguments mathématiques et expliquer et justifier les résultats mathématiques;
  • évaluer l’importance des récurrences et des régularités observées dans les données (ou proposées).

** Ces activités apparaissent dans la liste afin de mettre en relief la nécessité pour les responsables de l’élaboration du test de prévoir des items accessibles aux élèves qui se situent au bas de l’échelle de rendement.

Interpréter et évaluer

Dans la définition de la culture mathématique, le verbe interpréter (et évaluer) renvoie à la capacité des individus de réfléchir à des solutions, à des résultats ou à des conclusions mathématiques et de les interpréter dans le cadre de problèmes tirés du monde réel à l’origine du processus. Ce processus consiste à traduire des solutions mathématiques ou à replacer le raisonnement dans le contexte du problème, puis à déterminer si les résultats sont plausibles et appropriés dans le contexte du problème.

Plus précisément, ce processus, qui consiste à interpréter, à appliquer et à évaluer des résultats mathématiques, englobe des activités telles les suivantes :

  • interpréter les informations présentées dans des graphiques et/ou des diagrammes**;
  • évaluer un résultat mathématique en fonction du contexte**;
  • interpréter un résultat mathématique en fonction du contexte du monde réel;
  • évaluer la plausibilité d’une solution mathématique dans le contexte d’un problème tiré du monde réel;
  • comprendre en quoi le monde réel a un impact sur les résultats et les calculs d’un modèle ou d’une procédure mathématique afin de pouvoir porter des jugements en contexte sur la façon d’appliquer ou d’ajuster les résultats;
  • expliquer pourquoi une conclusion ou un résultat mathématique est ou n’est pas plausible dans le contexte d’un problème;
  • comprendre la portée et les limites des concepts et des solutions mathématiques;
  • critiquer le modèle utilisé pour résoudre le problème et en reconnaître les limites;
  • recourir au raisonnement mathématique et à la pensée computationnelle pour formuler des prévisions, appuyer ses arguments, tester les solutions proposées et les comparer.

** Ces activités apparaissent dans la liste afin de mettre en relief la nécessité pour les responsables de l’élaboration du test de prévoir des items accessibles aux élèves qui se situent au bas de l’échelle de rendement.

Connaissance du contenu

Acquérir des connaissances en mathématiques – et savoir les appliquer pour résoudre des problèmes du monde réel – est important pour les citoyennes et citoyens des sociétés modernes. Il faut en effet pouvoir s’appuyer sur des connaissances mathématiques et sur une certaine compréhension des mathématiques pour raisonner de façon mathématique, résoudre des problèmes et interpréter des situations dans des contextes personnels, professionnels, sociétaux et scientifiques.

Le PISA utilise depuis 2012 les catégories de contenus suivantes, qui servent encore dans le PISA 2021 pour témoigner des phénomènes mathématiques qui sous-tendent de vastes classes de problèmes, la structure générale des mathématiques et les principales composantes des programmes d’études typiques.

Quatre sujets sont particulièrement ciblés dans l’évaluation du PISA 2021. Ils ne sont pas nouveaux par rapport aux catégories de contenus mathématiques. Il n’en demeure pas moins qu’ils méritent une attention plus grande.

Quantité

La notion de quantité est peut être l’aspect mathématique le plus répandu et le plus essentiel de l’engagement et du fonctionnement dans notre monde. Elle englobe la quantification d’attributs d’objets, de relations, de situations et d’entités dans le monde, la compréhension de diverses représentations de ces quantifications et l’évaluation d’interprétations et d’arguments fondés sur la quantité. Pour appréhender la quantification, il faut comprendre le mesurage, le comptage, la magnitude, les unités, les indicateurs, la taille relative, les tendances numériques et les régularités.

La quantification est la principale méthode qui existe pour décrire et mesurer un grand nombre des attributs d’objets dans le monde. Elle permet de modéliser des situations, d’examiner les variations et les relations, de décrire et de manipuler l’espace et les formes, d’organiser et d’interpréter les données ainsi que de mesurer et d’évaluer l’incertitude.

Simulations informatiques

Les mathématiques aussi bien que la statistique présentent des problèmes qui ne sont pas si faciles à résoudre en raison de la complexité des mathématiques requises ou d’un grand nombre de facteurs agissant tous à l’intérieur du même système.

Aujourd’hui, de tels problèmes sont de plus en plus étudiés à l’aide de simulations informatiques fondées sur les mathématiques algorithmiques.

Si les simulations informatiques sont un élément clé de la catégorie de contenus quantité, c’est parce que, dans le contexte d’une évaluation informatisée de mathématiques, il existe une vaste catégorie de problèmes complexes. À titre d’exemple, les élèves peuvent recourir à des simulations informatiques pour analyser des prévisions budgétaires ou une planification dans un item du test.

Incertitude et données

En sciences, dans le domaine de la technologie et dans la vie de tous les jours, l’incertitude existe de fait. Le phénomène de l’incertitude est donc au cœur de l’analyse mathématique de nombreux problèmes, et la théorie de la probabilité et la statistique, ainsi que les techniques de représentation et de description des données, ont été créées pour y répondre. Dans la catégorie de contenus incertitude et données, il s’agit de reconnaître la place de la variation dans les processus, de comprendre l’ampleur de cette variation, d’admettre la notion d’incertitude et d’erreur dans les mesures et de connaître le concept de chance. Il faut également formuler, interpréter et évaluer des conclusions dans des situations où règne l’incertitude. La quantification est la principale méthode qui existe pour décrire et mesurer un grand nombre des attributs d’objets dans le monde.

Prise de décisions conditionnelles

Si la prise de décisions conditionnelles est un élément clé de la catégorie de contenus incertitude et données, c’est que les élèves doivent s’attendre à devoir reconnaître que les hypothèses formulées dans l’établissement d’un modèle ont une incidence sur les conclusions susceptibles d’en être tirées et que différentes hypothèses/relations peuvent très bien aboutir à une conclusion différente.

Variations et relations

Le monde naturel et le monde façonné par l’homme affichent une multitude de relations provisoires et permanentes entre les objets et les circonstances, dans lesquelles des changements interviennent dans des systèmes d’objets interdépendants ou dans des circonstances où les éléments s’influencent les uns les autres. Dans de nombreux cas, ces changements se produisent avec le temps. Il arrive aussi que des changements qui affectent un objet ou une quantité soient en rapport avec des changements qui ont eu lieu sur un autre objet ou quantité. Il s’agit de changements tantôt ponctuels, tantôt continus. Certaines relations sont de nature permanente. Pour mieux comprendre les variations et les relations, il faut tout d’abord comprendre les types fondamentaux de changement et les reconnaître lorsqu’ils se produisent. Il s’agit là d’une étape essentielle pour utiliser des modèles mathématiques adaptés qui permettent de décrire et de prévoir les changements. En termes mathématiques, cela revient à modéliser les variations et les relations grâce à des fonctions et à des équations appropriées, ainsi qu’à créer, à interpréter et à traduire des représentations graphiques et symboliques des relations.

Phénomènes de croissance

Pour comprendre les dangers des épidémies de grippe, des éclosions de maladies bactériennes et du changement climatique, les gens doivent non seulement penser en termes de relations linéaires, mais également reconnaître que de tels phénomènes exigent des modèles non linéaires, à l’image de la croissance très rapide de ces phénomènes. Les relations linéaires sont courantes et faciles à reconnaître et à comprendre, mais il est parfois risqué de présumer de la linéarité d’un phénomène.

Le fait que les phénomènes de croissance soient un élément clé de la catégorie de contenus variations et relations ne signifie pas que les élèves participants doivent avoir étudié la fonction exponentielle, et les items n’exigeront certainement pas qu’ils connaissent cette fonction. Il faut plutôt s’attendre à ce que, pour certains items, les élèves soient appelés à reconnaître a) que la croissance n’est pas toujours linéaire et b) que la croissance non linéaire a des implications profondes sur la façon dont nous comprenons certaines situations.

Espace et formes

La catégorie de contenus espace et formes englobe un large éventail de phénomènes omniprésents dans notre environnement visuel et physique : les régularités, les propriétés des objets, les positions et les orientations, les représentations d’objets, l’encodage et le décodage d’informations visuelles, la navigation et les interactions dynamiques avec des formes réelles ainsi qu’avec leur représentation. La géométrie est un fondement essentiel de la catégorie espace et formes, qui s’étend toutefois au delà des limites de cette branche en termes de contenu, de signification et de méthode, et intègre d’autres branches des mathématiques, telles que la visualisation dans l’espace, les mesures et l’algèbre.

Approximation géométrique

Le monde d’aujourd’hui est rempli de formes qui ne sont pas conforment aux modèles habituels d’uniformité ou de symétrie. Parce que les formules simples ne s’appliquent pas à l’irrégularité, il est plus difficile de comprendre ce que nous voyons et de déterminer la superficie ou le volume des structures qui résultent de cette irrégularité.

Si les approximations géométriques sont un élément clé de la catégorie de contenus espace et formes, c’est que les élèves doivent pouvoir appliquer à un éventail de situations atypiques la compréhension qu’ils ont de phénomènes courants liés à l’espace et aux formes.

Contextes

L’un des aspects importants de la culture mathématique réside dans l’utilisation des mathématiques pour résoudre des problèmes en contexte. Par contexte, on entend la place des problèmes dans le monde des individus. Le choix de représentations et de stratégies mathématiques appropriées dépend souvent du contexte dans lequel un problème se pose. Pour le PISA, il est important d’utiliser une grande diversité de contextes.

Contextes personnels

Les problèmes classés dans la catégorie des contextes personnels portent sur les activités d’une personne, de sa famille ou de son groupe de pairs. Les contextes personnels sont, par exemple, ceux qui ont un lien avec la préparation des aliments, les achats, les loisirs, la santé personnelle, les déplacements personnels, les sports, les voyages, les horaires personnels et les finances personnelles.

Contextes professionnels

Les problèmes classés dans la catégorie des contextes professionnels se situent dans le monde du travail. Parmi les contextes à considérer comme professionnels, citons notamment ceux en rapport avec le mesurage, les devis et les commandes de matériaux de construction, la comptabilité et la gestion des salaires, le contrôle de la qualité, les inventaires et les prévisions, le design et l’architecture ainsi que la prise de décisions dans le cadre professionnel. Les contextes professionnels peuvent concerner toutes les classes de main-d’œuvre, depuis les travailleuses et travailleurs non qualifiés jusqu’à ceux qui exercent les plus hautes fonctions, même si les items du PISA doivent être accessibles à des élèves de 15 ans.

Contextes sociétaux

Les problèmes classés dans la catégorie des contextes sociétaux portent sur la communauté (locale, nationale ou mondiale). Ils ont trait, par exemple, aux systèmes électoraux, au transport collectif, au gouvernement, aux politiques publiques, à la démographie, à la publicité, aux statistiques nationales et à l’économie. Les individus participent à tous ces contextes à titre personnel, mais les problèmes relevant de cette catégorie se présentent avant tout sous l’angle de la collectivité.

Contextes scientifiques

Les problèmes classés dans la catégorie des contextes scientifiques portent sur l’application des mathématiques dans le monde naturel ainsi que sur les questions et les sujets liés aux sciences et à la technologie. Ils ont trait, par exemple, au temps qu’il fait et au climat, à l’écologie, à la médecine, à la science de l’espace, à la génétique, au mesurage et au monde des mathématiques lui-même. Les items intramathématiques, dont tous les éléments ont trait au monde des mathématiques, se classent dans la catégorie des contextes scientifiques.

Compétences du XXIe siècle

Ce qui est appelé les compétences du XXIe siècle et leur possible intégration dans les systèmes d’éducation suscitent de plus en plus d’intérêt partout dans le monde. L’OCDE a publié un document sur ces compétences et a commandé un projet de recherche intitulé Le Futur de l’éducation et des compétences : Projet Éducation 2030 de l’OCDE. Quelque 25 pays participent à cette étude transnationale sur les programmes d’études et l’intégration dans ceux-ci des compétences du XXIe siècle. Le projet vise avant tout à déterminer à quoi ressembleront les programmes d’études de demain, en ciblant initialement les mathématiques. Parmi les compétences clés du XXIe siècle, il y a notamment :
  • le raisonnement critique;
  • la créativité;
  • la recherche et l’enquête;
  • l’autodétermination, l’initiative et la persévérance;
  • l’utilisation de l’information;
  • la pensée systémique;
  • la communication;
  • la réflexion.

Bien que les responsables de l’élaboration du test reconnaissent ces compétences du XXIe siècle, les items de mathématiques du PISA 2021 ne sont pas conçus expressément en fonction de celles-ci.

Exemples

Quelques exemples d’exercices utilisés dans l’évaluation des mathématiques du PISA 2021 sont fournis plus bas. Chaque bouton donne accès à un exemple d’expérience.